拟合度的分析

　　在上一篇里，已经介绍了如何选择曲线模型，这一篇里，将会介绍怎样预测出该模型下符合实际数据的曲线，选择合适的模型。（模型的拟合算法将单独介绍）

　　给定一组实际数据，要让你预测出今后的一段时间，该数据的发展趋势，很多情况下，你并不能一下子就找到符合这组数据发展趋势的模型。而实际上，又有太多模型可以选择，每一个模型都会得到一个不同的发展趋势。好比买衣服，琳琅满目、各式各样，可是，到底哪一件适合你要出席的场合呢？所以，到底是指数合适，还是Gompertz合适，又或者是Logistic合适呢？

　　这个时候，就迫切的需要一个评判的标准，这种标准称为拟合度。拟合度的评价也有几种方法，本文列出了几种常用的拟合度判断方法，并对这几种方法进行总结、对比。

　　◆ 利用相关系数R2来进行拟合度判断

　　相关系数R2是一种常见的拟合度的判断方法，常用于判断线性曲线的拟合度，然而在许多非线性曲线的拟合度判定过程中使用的依然是判断R2的方法，这个判断标准在实践中也被证明是符合实际的。实际中，R2较大的曲线模型，往往也是拟合较好的模型。

　　● 计算残差平方和Q=∑(y-y*)^2，其中，y代表的是实测值，y*代表的是预测值

　　● 计算相关系数R2=1-Q/∑(y-ya)^2，其中，y代表的是实测值，ya代表的是实测值的平均数

　　● 判断方式：R2越大、越接近1，认为拟合度越好

　　◆ 利用变换的R2来进行拟合度判断——以Gompertz曲线和Logistic曲线为例

　　Gompertz曲线和Logistic曲线的预测过程（无论是三点法还是三和法）首先都需将模型的函数进行变换（对Gompertz模型进行对数变换，对Logistic模型进行倒数变换），然后再运用三和法或者三点法的原理进行计算。所以这里提出一种运用变换的相关系数R2来进行拟合度判断。

　　● Gompertz曲线

　　◇ 分别将实测值和预测值进行对数变换

　　◇ 将对数变换后的实测值记作y，将对数变换后的预测值记作y*

　　◇ 根据相关系数的计算方法，计算变换后的残差平方和Q和相关系数R2

　　● Logistic曲线

　　◇ 分别将实测值和预测值进行求倒数变换

　　◇ 将求倒变换后的实测值记作y，将求倒变换后的预测值记作y*

　　◇ 根据相关系数的计算方法，计算变换后的残差平方和Q和相关系数R2

　　◆ 利用实测数据与拟合数据来进行拟合度判断

　　由于R2是用于判断线性模型的拟合程度的，对于非线性曲线，似乎不具有什么理论上的支持，所以，出现了许多针对非线性曲线进行的拟合度判定。下面的方法是其中的一种。

　　● 同样，计算残差平方和Q=∑(y-y*)^2和∑y^2，其中，y代表的是实测值，y*代表的是预测值

　　● 计算新的拟合度指标RNew=1-(Q/∑y^2)^(1/2)

　　● 判断方式：RNew越接近1，认为拟合度越好

　　◆ 利用余弦函数进行辅助判断

　　从上一种方法中可以看出，在参数个数相同的前提下，拟合值越接近实测值，则认为拟合得越好。由此出现了根据几何意义得到的方法：若把实测值和预测值视为N维空间中的向量，若它们之间的夹角Θ越小，则可以认为拟合得越好。这里，计算角余弦系数FR=cosΘ=∑(yy*)/((∑y^2)^(1/2)* (∑y*^2)^(1/2))。

　　经实验证明，RNew的分辨率和灵敏度都较高，计算简单。实际中，可先用FR初选，再用RNew精选，可能会得到较好的结果。