二进制、八进制和十六进制之间的运算

二进制、八进制和十六进制之间的运算

编程中，我们常用的还是10进制……必竟C/C++是高级语言。 51Testing软件测试网!c?"W6b;dB2mD
比如： 51Testing软件测试网Y4D`TQ
int a = 100,b = 99;
'k"l^ Er+p/O0不过，由于数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，所以有时候使用二进制，可以更直观地解决问题。 但二进制数太长了。比如int 类型占用4个字节，32位。比如100，用int类型的二进制数表达将是： 0000 0000 0000 0000 0110 0100 ，面对这么长的数进行思考或操作，没有人会喜欢。因此，C,C++ 没有提供在代码直接写二进制数的方法。 用16进制或8进制可以解决这个问题。因为，进制越大，数的表达长度也就越短。不过，为什么偏偏是16或8进制，而不其它的，诸如9或20进制呢？ 2、8、16，分别是2的1次方，3次方，4次方。这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。8进制或16进制缩短了二进制数，但保持了二进制数的表达特点。在下面的关于进制转换的课程中，你可以发现这一点。 51Testing软件测试网M7jm F!S5U%}
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6.2 二、八、十六进制数转换到十进制数
Z~OG2Y
yjF {06.2.1 二进制数转换为十进制数
w*fD A6e1uN0二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方…… ,所以，设有一个二进制数：0110 0100，转换为10进制为： 51Testing软件测试网-H[IOD x%PgO
下面是竖式： 51Testing软件测试网*?7kon
lq3Ov
0110 0100 换算成 十进制
JC)bFl-L-QMb0第0位 0 * 2<sup>0</sup> = 0 51Testing软件测试网2i4x+C'f&F:y;Qt
第1位 0 * 2<sup>1</sup> = 0 51Testing软件测试网!@rE|)] d4F
第2位 1 * 2<sup>2</sup> = 4 51Testing软件测试网5jtb.@ Qv"l-P+e-C
第3位 0 * 2<sup>3</sup> = 0 51Testing软件测试网*_ Q7q%Q4uf5O-X
第4位 0 * 2<sup>4</sup> = 0 51Testing软件测试网g4e2m];vB
第5位 1 * 2<sup>5</sup> = 32
1i;s%U)?b0第6位 1 * 2<sup>6</sup> = 64
4Uvzm9Ue"_$Q]0第7位 0 * 2<sup>7</sup> = 0  
3{C?H`0--------------------------- 51Testing软件测试网f^%op!n^#c
            100 51Testing软件测试网 j&v:[/E)vdQ3kZL-j
用横式计算为：
AV#m&Kuc00 * 2⁰ + 0 * 2¹ + 1 * 2² + 1 * 2³ + 0 * 2⁴ + 1 * 2⁵ + 1 * 2⁶ + 0 * 2⁷ = 100 51Testing软件测试网*p pNj){J
f
0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位： 51Testing软件测试网 SO b-V/q@`Q*z
1 * 2<sup>2</sup> + 1 * 2<sup>3</sup> + 1 * 2<sup>5</sup> + 1 * 2<sup>6</sup> = 100 51Testing软件测试网bX^u x
w&C
ey3E+F
6.2.2 八进制数转换为十进制数
?&}7Tb)E }'oP:I9_0八进制就是逢8进1。
.N(}6uZw8y0八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。
.kk2[!S&r9G(HF1}"T0八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方…… 51Testing软件测试网3]~!ti'Y3nwC
所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为： 51Testing软件测试网(jGgR)P^
用竖式表示： 51Testing软件测试网/F s-x*hD"NsP ?
1507换算成十进制。 51Testing软件测试网 Uase"f
第0位 7 * 8<sup>0</sup> = 7
GA
[&CW0第1位 0 * 8<sup>1</sup> = 0 51Testing软件测试网;t}2N5Cu:{i#^B.ip
第2位 5 * 8<sup>2</sup> = 320 51Testing软件测试网&Vb+U%ogW
B(f)`P6tY,S
第3位 1 * 8³ = 512 ＋
;m#d0ks_y
k$r*E!c0--------------------------
%H7Wce8zT9k"i0839 51Testing软件测试网Pa6L,d2Q&u
同样，我们也可以用横式直接计算： 51Testing软件测试网rxl y x\*`N
7 * 8<sup>0</sup> + 0 * 8<sup>1</sup> + 5 * 8<sup>2</sup> + 1 * 8<sup>3</sup> = 839 51Testing软件测试网2Q(X.iri[
结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839 51Testing软件测试网.~-B0{8E4Xf Eg
6.2.3 八进制数的表达方法 51Testing软件测试网pys;fKc;D:D(X
C,C++语言中，如何表达一个八进制数呢？如果这个数是 876,我们可以断定它不是八进制数，因为八进制数中不可能出7以上的阿拉伯数字。但如果这个数是123、是567，或12345670，那么它是八进制数还是10进制数，都有可能。 51Testing软件测试网B9x-@z^:r:s S
所以,C,C++规定，一个数如果要指明它采用八进制，必须在它前面加上一个0，如：123是十进制，但0123则表示采用八进制。这就是八进制数在C、C++中的表达方法。 51Testing软件测试网NFh'H FPg+U,o
由于C和C++都没有提供二进制数的表达方法，所以，这里所学的八进制是我们学习的，C,C++语言的数值表达的第二种进制法。
3V}*K,C/h,?8o n0现在，对于同样一个数，比如是100，我们在代码中可以用平常的10进制表达，例如在变量初始化时： 51Testing软件测试网4H(`;aKAN2W*D2{(b
int a = 100;
(Z\`c_E [0我们也可以这样写： 51Testing软件测试网1B7N e8bD%xBz,w
int a = 0144; //0144是八进制的100；一个10进制数如何转成8进制，我们后面会学到。
Cp7y8C
Q1^}0千万记住，用八进制表达时，你不能少了最前的那个0。否则计算机会通通当成10进制。不过，有一个地方使用八进制数时，却不能使用加0，那就是我们前面学的用于表达字符的“转义符”表达法。
PO$_0{&U/P06.2.4 八进制数在转义符中的使用
_ZY.ad0我们学过用一个转义符'\'加上一个特殊字母来表示某个字符的方法，如：'\n'表示换行(line)，而'\t'表示Tab字符，'\''则表示单引号。今天我们又学习了一种使用转义符的方法：转义符'\'后面接一个八进制数，用于表示ASCII码等于该值的字符。 51Testing软件测试网:C8i-k0`&@q!D0F
比如，查一下第5章中的ASCII码表，我们找到问号字符（?)的ASCII值是63，那么我们可以把它转换为八进值：77，然后用 '\77'来表示'?'。由于是八进制，所以本应写成 '\077'，但因为C,C++规定不允许使用斜杠加10进制数来表示字符，所以这里的0可以不写。 51Testing软件测试网$x'L {v;o
事实上我们很少在实际编程中非要用转义符加八进制数来表示一个字符，所以，6.2.4小节的内容，大家仅仅了解就行。
iP4wf.o1eL06.2.5 十六进制数转换成十进制数 51Testing软件测试网2x_ Rg%y4\d1P
2进制，用两个阿拉伯数字：0、1； 51Testing软件测试网1S8WvFCYU
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8进制，用八个阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7；
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u1e{#h010进制，用十个阿拉伯数字：0到9；
m_%m
x k k?)V016进制，用十六个阿拉伯数字……等等，阿拉伯人或说是印度人，只发明了10个数字啊？ 51Testing软件测试网H C qv)G1aM:Z
16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这五个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。
;o(@3vUf]9F%CREY0十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……
'Md4X6NOT0所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小为 X * 16的N次方。
2PBp`#s3y&uy'nzT3z0假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢？
cM\Ax*R1~Y0用竖式计算：
Eoa)L5|`4E02AF5换算成10进制:
5~R-z|`+U0第0位： 5 * 16<sup>0</sup> = 5 51Testing软件测试网#J+Q2G'zsOo
第1位： F * 16<sup>1</sup> = 240
+nx2s/}(cd$jbks#p0第2位： A * 16<sup>2</sup> = 2560 51Testing软件测试网J3bj5\`dU5Yj
第3位： 2 * 16³ = 8192 ＋ 51Testing软件测试网Hm`akaDb
-------------------------------------
6q#n~:B W!cfB%o010997
o&`B%lk&m(]0直接计算就是：
yB[)R/r05 * 16⁰ + F * 16¹ + A * 16² + 2 * 16³ = 10997
u9z*~E"\ l]5g0(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15) 51Testing软件测试网 SFN
L'o"MY6Fyj
现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。
}U2xX)gi0假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四？你尽可以给他这么一个算式： 51Testing软件测试网*@QbYke,c"o7k
X
1234 = 1 * 10³ + 2 * 10² + 3 * 10¹ + 4 * 10⁰ 51Testing软件测试网/em6U"{H!iIm
6.2.6 十六进制数的表达方法 51Testing软件测试网O/\;a#q+q ez;e
如果不使用特殊的书写形式，16进制数也会和10进制相混。随便一个数：9876，就看不出它是16进制或10进制。
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}0[T:AA.m0C，C++规定，16进制数必须以 0x开头。比如 0x1表示一个16进制数。而1则表示一个十进制。另外如：0xff,0xFF,0X102A,等等。其中的x也不区分大小写。(注意：0x中的0是数字0，而不是字母O)
_G\!I}?xy0以下是一些用法示例：
VHO7N?0`0int a = 0x100F; 51Testing软件测试网&TyC w4ts{2V#r
int b = 0x70 + a;
,nj'Q2b(Jb1skK p)l/P0至此，我们学完了所有进制：10进制，8进制，16进制数的表达方式。最后一点很重要，C/C++中，10进制数有正负之分，比如12表示正12，而-12表示负12，；但8进制和16进制只能用无符号的正整数，如果你在代码中里：-078，或者写：-0xF2,C,C++并不把它当成一个负数。
'd3`.\EL:Fg06.2.7 十六进制数在转义符中的使用
,`R@+d,V+Eh0转义符也可以接一个16进制数来表示一个字符。如在6.2.4小节中说的 '?' 字符，可以有以下表达方式： 51Testing软件测试网fRb'k`YL
'?' //直接输入字符 51Testing软件测试网%\"j.\N,l9@2vY3@0D3C
'\77' //用八进制，此时可以省略开头的0
fxOva0'\0x3F' //用十六进制
%}/\kX%L)N!b
~0同样，这一小节只用于了解。除了空字符用八进制数 '\0' 表示以外，我们很少用后两种方法表示一个字符。
4F7s.wi"c?N{7x06.3 十进制数转换到二、八、十六进制数
3h2TR;y a0|1XnR06.3.1 10进制数转换为2进制数
4Z(A/{M.Ml`;l$@'Gi d?0给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？ 51Testing软件测试网NtQSn]~
10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程： 51Testing软件测试网4Y br l] g
把要转换的数，除以2，得到商和余数， 51Testing软件测试网M{HI2R
将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。 51Testing软件测试网|^dH z"[T"~4w7S
听起来有些糊涂？我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。
Kk rb(K0“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。
S5?`6S
g!z0那么： 51Testing软件测试网g2uSE'Xi Ox
要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。 （不要告诉我你不会计算6÷3！） 51Testing软件测试网b-qI7[[c4Z
“将商继续除以2,直到商为0……” 51Testing软件测试网/EM:~ZC:W3y
现在商是3，还不是0，所以继续除以2。 51Testing软件测试网S S(f&yHWSl{
那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。
@/cNe+vE(t"tZi0“将商继续除以2，直到商为0……” 51Testing软件测试网A6^sA| B_*q]"lIQ
现在商是1，还不是0，所以继续除以2。 51Testing软件测试网oW4VO(u#{wo
那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1 （拿笔纸算一下，1÷2是不是商0余1!）
)Gj/zW6A2| a;K0“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”
6d,C@(R eK,J6I0好极！现在商已经是0。
K^.~+n/u&H!}4@0我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！
~ F C(fcR06转换成二进制，结果是110。
\gZ/FD0n#jD0把上面的一段改成用表格来表示，则为： 51Testing软件测试网0Ub#z6A.t9Hl
被除数 计算过程 商 余数 51Testing软件测试网#J4J G,R i i\
6 6/2 3 0 51Testing软件测试网7Q9RW/To#y
3 3/2 1 1
m%^%Q }6Uk \ q01 1/2 0 1 51Testing软件测试网 cPy
?u7Y/u
（在计算机中，÷用 / 来表示） 51Testing软件测试网:aqvZp9R
如果是在考试时，我们要画这样表还是有点费时间，所更常见的换算过程是使用下图的连除：
Gu;F f*jV0（图：1