1. 问题描述
子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串
· cnblogs
· belong
比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs, belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。
2. 求解算法
对于母串X=<x1,x2,?,xm>X=<x1,x2,?,xm>, Y=<y1,y2,?,yn>Y=<y1,y2,?,yn>，求LCS与最长公共子串。
暴力解法
假设 m<nm<n， 对于母串XX，我们可以暴力找出2m2m个子序列，然后依次在母串YY中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n?2m)O(n?2m)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。
动态规划
假设Z=<z1,z2,?,zk>Z=<z1,z2,?,zk>是XX与YY的LCS， 我们观察到
· 如果xm=ynxm=yn，则zk=xm=ynzk=xm=yn，有Zk?1Zk?1是Xm?1Xm?1与Yn?1Yn?1的LCS；
· 如果xm≠ynxm≠yn，则ZkZk是XmXm与Yn?1Yn?1的LCS，或者是Xm?1Xm?1与YnYn的LCS。
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。
DP 求解 LCS
用二维数组c[i][j]记录串x1x2?xix1x2?xi与y1y2?yjy1y2?yj的LCS长度，则可得到状态转移方程
代码实现
public static int lcs(String str1, String str2) { int len1 = str1.length(); int len2 = str2.length(); int c[][] = new int[len1+1][len2+1]; for (int i = 0; i <= len1; i++) { for( int j = 0; j <= len2; j++) { if(i == 0 || j == 0) { c[i][j] = 0; } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; } else { c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]); } } } return c[len1][len2]; } |
DP 求解最长公共子串
前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x1x2?xix1x2?xi与y1y2?yjy1y2?yj的结尾——的长度。
得到转移方程：
最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,?,m},j∈{1,?,n}max(c[i,j]), i∈{1,?,m},j∈{1,?,n}。
代码实现
publicstaticintlcs(Stringstr1,Stringstr2){ intlen1=str1.length(); intlen2=str2.length(); intresult=0;//记录最长公共子串长度 intc[][]=newint[len1+1][len2+1]; for(inti=0;i<=len1;i++){ for(intj=0;j<=len2;j++){ if(i==0||j==0){ c[i][j]=0; }elseif(str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)){ c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; result=max(c[i][j],result); }else{ c[i][j]=0; } } } returnresult; } |
