排队论模型-----------[Zee整理中]

排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取得了显著的成绩。
一、排队论简介
二、实例分析

一、排队论简介（一）基本概念

1．排队系统
    排队是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列
    排队系统是指一个具有排队等待现象的服务系统
    排队论是指定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找供求关系平衡的最优方案。
    现实世界中排队的现象比比皆是，但有如下共同特征:
    (1)有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。
    (2)有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。
    (3)顾客随机地一个一个(或者一批一批)来到服务系统每位顾客需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲无事。

2  排队系统的特征
    为了描述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成
    (1)输入过程
    顾客陆续来到的过程，设N(t): (0，t)时间内来到的顾客数(非负整数值){N(t),t>=0}是随机过程,又设Ti为第i个顾客到达的时候,从而{Ti}随机变量序列,θi =Ti-T(i-1)是时间间距(隔),所以N(t)=max{j,∑(i=0)^j<t.一般假设顾客来到的时间间隔θi相互独立与随机变量θ有 相同的.分布θ可以根据原始资料,由顾客到达的规律,做出经验分布,然后按照统计学的方法(如x^2检验法)确定服从哪种理论分布,并估计它的参数值.我 们主要讨论θ概率分布为负指数分布M(另外有定长分布D,K阶爱尔兰分布E_K,一般独立分布GI等)
    (2)服务机构
    服务员对顾客服务过程，服务机构可以是一个服务员或多个服务员的。对顾客可以单独进行服务，也可以对成批顾客进行服务，在我们这儿介绍对顾客单独进行服 务。设C为服务机构服务员个数，当C=1时，为单服务系统，当C≥2，为多服务系统。和输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设ξn表示服务员 为n个顾客提供服务所需的时间,则服务时间所构成的序列{ξn}服从相互独立的且与某一随机变量ξ有相同分布,其中ξ的概率分布是已知的,可以根据原始资 料判断得到的，主要有的分布为负指数分布(定长分布，一般独立分布等)
    (3)排队与服务规则
    顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制，消失制和混合制。所谓等待制的系统容量就是当一个顾客到达时，若所有服务台均被占用时，该顾客便排队等待服 务；消失制也称即时制(系统容量D=C,C为服务台的个数)就是服务台被占用时顾客便即时离去；混合制也称队长有限制(系统容量D:C<D< k,k为超时)就是一顾客到达后,若系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务的)数目小于k则他排队等待,否则他即时离去,等待制服务的次序规则有先到先 服务,随机服务,有优先权的先服务等.我们主要讨论先到先服务的系统。

3.排队系统的主要指标
    研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是
    (1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务的)的数目，它的期望值为Ls；排队长度则仅指在队列中排队等待的顾客数，其期望记为Lq。系统中的顾客数(队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以Lq(或Ls）越大，说明服务效率越低。

    (2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受服务时止的这段时间，其期望值记为Wq；逗留时间则指从顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要的时间，
即是顾客在系统中所花费的总时间，其期望值记Ws。
      逗留时间=等待时间+服务时间
       (3)忙期:是指服务台连续繁忙的时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止的这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员 工作强度，与忙期相对应的是闲期，这是指服务台连续保持空闲的时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现的。
       排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台的利用率(即服务员忙碌的时间在总时间中所占比例)在排队论的研究中也是很重要的指标。