普通的素数测试我们有O(√ n)的试除算法。事实上，我们有O(slog3n)的算法。
定理一：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1)≡1(mod p)。即假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。（费马小定理）
该定理的逆命题是不一定成立的，但是令人可喜的是大多数情况是成立的。
于是我们就得到了一个定理的直接应用，对于待验证的数p，我们不断取a∈［1，p-1]且a∈Z，验证a^(p-1) mod p是否等于1，不是则p果断不是素数，共取s次。其中a^(p-1) mod p可以通过把p-1写成二进制，由(a*b)mod c=(a mod c)*b mod c，可以在t=log(p-1)的时间内计算出解，如考虑整数相乘的复杂度，则一次计算的总复杂度为log3(p-1)。这个方法叫快速幂取模。
为了提高算法的准确性，我们又有一个可以利用的定理。
定理二：对于0<x<p，x^2 mod p =1 => x=1或p-1。
我们令p-1=(2^t)*u，即p-1为u二进制表示后面跟t个0。我们先计算出x[0]=a^u mod p ，再平方t次并在每一次模p，每一次的结果记为x[i]，最后也可以计算出a^(p-1) mod p。若发现x[i]=1而x[i-1]不等于1也不等于p-1，则发现p果断不是素数。
可以证明，使用以上两个定理以后，检验s次出错的概率至多为2^(-s)，所以这个算法是很可靠的。
需要注意的是，为了防止溢出（特别大的数据），a*b mod c 也应用类似快速幂取模的方法计算。当然，数据不是很大就可以免了。
下面是我的程序。
typedef unsigned long long LL; LL modular_multi(LL x,LL y,LL mo) { LL t; x%=mo; for(t=0;y;x=(x<<1)%mo,y>>=1) if (y&1) t=(t+x)%mo; return t; } LL modular_exp(LL num,LL t,LL mo) { LL ret=1,temp=num%mo; for(;t;t>>=1,temp=modular_multi(temp,temp,mo)) if (t&1) ret=modular_multi(ret,temp,mo); return ret; } bool miller_rabbin(LL n) { if (n==2)return true; if (n<2||!(n&1))return false; int t=0; LL a,x,y,u=n-1; while((u&1)==0) t++,u>>=1; for(int i=0;i<S;i++) { a=rand()%(n-1)+1; x=modular_exp(a,u,n); for(int j=0;j<t;j++) { y=modular_multi(x,x,n); if (y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false; ///其中用到定理，如果对模n存在1的非平凡平方根，则n是合数。 ///如果一个数x满足方程x^2≡1 (mod n),但x不等于对模n来说1的两个‘平凡’平方根：1或-1，则x是对模n来说1的非平凡平方根 x=y; } if (x!=1)///根据费马小定理,若n是素数，有a^(n-1)≡1(mod n).因此n不可能是素数 return false; } return true; } |
