四、软件可靠性评估
4.1 最大概率的EM算法
本文将该方法引申到软件测试可靠性评估计算上。
假设输入点集为I，通过输入和输出的映射函数关系，观测到I服从概率分布Pd(I)， Id。随机变量I只是观测数据的一部分，假设A表示与I有关的随机事件，即A={R(I)>Rα}，R(I)表示通过随机输入I观测到的似然统计量，Rα表示测试人员的期望值，且Rα∈［0，1］。这里所要求的是最大概率sup{Pd(A)：d∈D0}，这里D0是D的子集。在假设检验中，最大概率可以是真实的检验水平，也可以是犯第1类或第2类错误的概率。
EM算法是用来求解似然函数最大值点的工具，所以，如果能够将概率Pd(A)看成似然函数的值，则可以利用EM算法得到最大概率sup{Pd(A)：d∈D0}。
EM算法的基本步骤：
设f(y|d)是Y的概率函数。从一个初始点d∈D开始，则寻找sup{Pd(A)：d∈D0}的算法由下面的两步迭代而成(t=0，1，…)：
E步：给定现在的值d(t)后，对未知的对数似然函数l(d|Y)=log f(Y|d)求条件期望：
M步：最大化函数Q(d|d(t))，求取最大值点d(t+1)作为下一步迭代的值，即使得：
4.2 基于测试用例的软件可靠度检验
软件测试是一个反复测试的过程，一个测试软件包含多个测试用例，各个测试用例之间的关系是相互独立的，假设测试软件P包括m个测试用例，并且对该软件进行了k次测试，根据推论２可计算出一个关于测试用例的观测数据矩阵R如(8)式所示：
其中Rij表示对第i个测试用例进行第j次测试所得到的结果。其中经过k次测试后，每个测试用例的可靠度可以取其算术平均值作为最后结果，其结果可表示为式(9)。
根据(8)、(9)式可推导出测试软件P的最终矩阵表达式为式(10)：
下面利用R={R(c)1，…，R(c)m}对软件可靠度RP进行检验。检验的问题是：
这里的RP表示测试员或者软件使用者对软件可靠度的期望值，如果测试软件可靠度大于该期望值，则认为测试软件的可靠度达到要求，否则，认为没达到要求。根据式(8)可推出软件的可靠度的极大似然估计为式(11)。
对于给定的检验水平α，假设A={R^p>Rα}，通常的检验方法应该选取R尽可能的小，对给定的水平α，其中临界值Rα可以表示为式(12)。
